Julkaistu: 12.8.2003
Todennäköisyyslaskenta syntyi 1600-luvulla
Matematiikan painopiste siirtyi 1600-luvulla Italiasta Ranskaan. Tämä on matematiikan historian tärkeimpiä vaiheita. Ajatustenvaihtoa matemaattisista kysymyksistä on esiintynyt vain harvoin niin aktiivisesti kuin tällöin. Myös todennäköisyyslaskennan synty liittyy tähän ajatustenvaihtoon.
Fra Luca Paccioli (1445-1510) oli jo kaksi vuosisataa aikaisemmin esittänyt ongelman, jossa kaksi henkilöä on päättänyt pelata, kunnes toinen on voittanut kuusi pistettä. Peli kuitenkin keskeytyy, kun A on voittanut viisi pistettä ja B voittanut kolme pistettä. Kuinka pelipanokset on tällöin jaettava? Blaise Pascalin (1623 - 1662) ja Pierre de Fermat'n (1601 - 1665) kirjeenvaihto käsitteli vastaavaa pisteiden ongelmaa yleisemmin. Peli keskeytyy, kun A tarvitsee x pistettä ja B tarvitsee y pistettä. Kuinka pelipanos on tällöin jaettava? Ohessa on esimerkki, kun A tarvitsee 2 pistettä voittaakseen ja pelaaja B tarvitsee 3 pistettä.
Kun pelaaja A tarvitsee 2 pistettä voittaakseen ja pelaaja B tarvitsee 3 pistettä, peli päättyisi viimeistään neljän kierroksen jälkeen. Mahdolliset tulokset neljältä kierrokselta ovat (AAAA), (AAAB),(AABB), (ABBB), (BBBB), (AABA), (ABAA), (BABB), (ABAB), (BAAB), (BBAB), (BAAA), (ABBA), (BBBA), (BABA), (BBAA). Näistä 11 on A:lle suosiollisia ja 5 on B:lle suosiollisia, joten pelipanos on jaettava suhteessa 11:5.
Pelipanos on jaettava suhteessa 11:5, joka on suotuisten tapahtumien suhde, kun mahdollisia tapahtumia on kaikkiaan 16. Yleinen ratkaisu on siis valita r suotuisaa tapausta n:stä mahdollisesta tapauksesta. Tämä johti binomikertoimien ja kombinaatioiden käyttöön. Aritmeettisesta kolmiosta, jota kutsutaan Pascalin kolmioksi, Pascal ja Fermat saivat sekä kombinaatioiden lukumäärä että ratkaisussa tarvittavat binomikertoimet.
Pascalin kolmio on itse asiassa hyvin vanha keksintö. On mahdollista, että Pascal on tutustunut siihen jo koulua käydessään. Jo 1300-luvulta löytyy merkkejä aritmeettisesta kolmiosta ja kombinatoriikasta.
Joku saattaa kouluajoilta muistaa, kuinka aritmeettisesta kolmiosta saadaan ulos binomikertoimet. Harvempi tietää, että kun kolmiota käännetään 45 astetta vasempaan saadaan taulukko, josta on helppo laskea kombinaatioiden lukumäärät.
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | ||
| 1 | 4 | 10 | 20 | 35 | 56 | 84 | |||
| 1 | 5 | 15 | 35 | 70 | 126 | ||||
| 1 | 6 | 21 | 56 | 126 | |||||
| 1 | 7 | 28 | 84 | ||||||
| 1 | 8 | 36 | |||||||
| 1 | 9 | ||||||||
| 1 |
Yllä olevassa kolmiossa on 10 riviä ja saraketta. Jos halutaan tietää, kuinka monella tavalla kolme tapausta voidaan valita kymmenestä mahdollisesta tapauksesta, lasketaan yhteen luvut taulukon kolmannelta riviltä, ja tulos on 120. Sama tulos saadaan kaavalla
Kuinka sitten Pascalin ja Fermat'n välinen kirjeenvaihto sai alkunsa. Pascal ja Fermat tapasivat toisensa Pariisissa ns. Mersenne'n akatemiassa. Marin Mersenne (1588-1648) saapui Pariisiin vuonna 1619. Pariisissa Mersennen kotiin kerääntyi kerran viikossa matemaatikkoja ja luonnontieteilijöitä, heidän joukossaan Pierre de Carcavi ja Etienne Pascal (Blaise Pascalin isä). Myös Blaise Pascal oli mukana 14-vuotiaasta lähtien.
Carcavi, joka on paremmin tunnettu kirjeenvaihdostaan maineikkaiden matemaatikkojen kanssa kuin omista matemaattisista saavutuksistaan, toimi parlamentin neuvosherrana samoin kuin Fermat. Carcavi on vastuussa siitä, että Fermat osallistui Mersennen piirin keskusteluun ja tapasi Blaise Pascalin.
Ranskalainen Chevalier de Mere, joka on tullut tunnetuksi paremmin uhkapelurina kuin matemaatikkona esitti Pascalille kysymyksiä, jotka aloittivat Pascalin ja Fermat'n välisen kirjeenvaihdon.
Ismo Teikari
Päivitetty 11.8.2003
Lisätietoja:sähköposti: tietoaika@tilastokeskus.fi