Julkaistu: 27.10.2004
Bayesilainen ajattelu toi subjektiivisen uskomuksen takaisin todennäköisyyteen
Tarina kertoo maineikkaasta moskovalaisesta tilastotieteen professorista, joka ei koskaan saksalaisten ilmahyökkäyksen aikaan siirtynyt pommisuojaan. Hänellä oli tapana sanoa: "Moskovassa on seitsemän miljoonaa ihmistä, miksi odottaisin pommin osuvan juuri minuun." Tästä syystä hänen ystävänsä olivat hämmästyneitä nähdessään kerran professorin pommisuojassa ja kysyivät, miksi hän nyt oli muuttanut mielensä. "Moskovassa on seitsemän miljoonaa ihmistä ja yksi elefantti. Viime yönä he osuivat elefanttiin", vastasi professori.
Professorin käyttäytyminen muuttui, kun hän uskomuksensa lisäksi sai ulkopuolista tietoa. Kuten professorimme, tekevät ihmiset hyvin paljon päätöksiä tilanteessa, jossa maailmantila on epävarma päätöksen aktualisoiduttua. Tästä syystä tulevaisuuden ennustaminen on aina kiehtonut ihmisiä, epävarmuuden mittaaminen vain ei ole tuntunut edes mahdolliselta.
Jacob Bernoulli aloitti matkan kohti epävarmuuden mittaamista. Hän havaitsi, että sattumapelit ovat rakentuneet siten, että kaikki tulokset ovat tunnettuja ja yhtä uskottavia niin, että tapauksen todennäköisyys on yhtä kuin suotuisten tapausten suhde tapausten kokonaislukumäärään. Tiedämme siis tapausten suhteet etukäteen, apriori. Empiirisiin tapahtumiin tätä ei hänen mukaansa voitu sovittaa, koska suotuisten tapausten suhdetta ei todellisissa empiirisissä tapahtumissa tiedetä etukäteen, apriori. Hän kuitenkin arveli, että tutkimalla tapausten esiintymisfrekvenssejä voimme saada tietoa jälkikäteen, aposteriori. Mitä suuremmista frekvensseistä on kyse, sitä lähemmäksi päästään varmaa ennustetta. Hän kutsui tätä moraaliseksi varmuudeksi. Sattumapelien aprioritieto-olettamuksella Abraham deMoivre kehitti kuuluisan normaalikäyränsä.
Thomas Bayes sen sijaan tarttui Bernoullin ajatuksiin aposteriori-todennäköisyyksistä. Bayes otti käyttöön ns. ehdollisen todennäköisyyden käsitteen. Kun klassinen menetelmä korostaa otoksesta tai toistokokeesta saatua objektiivista todistusaineistoa esiintymisfrekvensseistä, niin bayesilainen menetelmä keskittyy subjektiiviseen arvioon, jolle otos tai toistokoe tuo tai ei tuo vahvistusta. Subjektiivinen todennäköisyys esitetään ehdollisena, kun todistusaineistosta saadaan tai ei saada vahvistusta. Tilanne on kuten professorillamme, joka muutti käyttäytymistään täysin saatuaan ulkopuolista tietoa. Tästä ehdollisesta luonteesta johtuen Bayesin analyysi onkin ollut eniten käytössä päätäntäteoriassa, jolloin useasta käyttäytymisvaihtoehdosta valitaan edullisin. Tässä yhteydessä on kuitenkin syytä huomauttaa, että ehdollinen todennäköisyys ei vielä tee päättelystä bayesilaista. Ehdollinen todennäköisyys voi liittyä myös datasta saataviin, aposterioritodennäköisyyksiin. Esimerkiksi todennäköisyydellä, että henkilöllä on tietty ominaisuus ehdolla, että hän on kotoisin jostain tietystä kunnasta, ei ole mitään tekemistä bayesilaisen päättelyn kanssa. Ollakseen bayesilaista ehdollisuuden pitää liittyä päätöksentekijän tai tutkijan subjektiivisiin, apriori-olettamuksiin.
Bayesin ongelma oli määrätä todennäköisyys sille, että tapaus esiintyy olosuhteissa, joista emme tiedä muuta kuin, että se on tapahtunut samoissa olosuhteissa x kertaa ja ollut tapahtumatta samoissa olosuhteissa y kertaa. Olosuhteiden esiintymisestä meillä on subjektiivinen käsitys.
Todennäköisyydellä on periaatteessa aina ymmärretty kahta eri asiaa:
1. Todennäköisyyttä, joka on olemassa riippumatta meidän käsityksestämme siitä.
2. Meidän uskomuksemme astetta tietystä tapahtumasta
Ensimmäinen todennäköisyyskäsite perustuu historiaan, joka alkaa sattumapelien analyysistä. Toinen käsite on vanhempi. Onhan ihmisten käyttäytyminen aina perustunut jonkinlaiseen uskomukseen tulevista tapahtumista. Daniel Bernoulli aikoinaan uskoi, että ihmiset suhtautuvat riskeihin eri tavalla ja liitti todennäköisyyskäsitteeseensä henkilökohtaisen odotusarvon ja hyödyn käsitteet. Bayes toi tämän subjektiivisen elementin tutkijan tai päättäjän apriorisena todennäköisyytenä todennäköisyyskäsitteeseensä.
Laplace kehitti Bayesin menetelmää edelleen ja esitti sen muodossa, joka nykyisin tunnetaan Bayesin teoreemana. Hän tosin johti sen eri tavalla kuin Bayes, ja onkin epäselvyyttä siitä, oliko hänen lähtökohtanaan lainkaan Bayesin paperi.
Laplacen jälkeen aina 1950-luvun loppupuolelle todennäköisyys on valtaosaltaan perustunut ensimmäiseen todennäköisyyden ajatukseen, jota kutsutaan frekventistiseksi näkemykseksi. 1960-luvulta lähtien uudelleenajattelu todennäköisyyden käsitteestä johti suureen määrään kirjoitelmia Bayesin todennäköisyydestä. Pääasiassa tämä esiintyi päätäntäteorian yhteydessä, mutta Bayesin teoreemaa sovellettiin ja sovelletaan edelleen laajasti myös muuhun tilastolliseen päättelyyn.
Ismo Teikari
Päivitetty 27.10.2004